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第六章 流数术与无穷级数(2)

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载了丈量无限神明的方法。学习它,就能了解至高神的性质,得到远超越任何一种加护的力量。

为了尽快摆脱被使徒追杀的窘境,  他们日夜不停的进行着破译《战车登天技法》的工作,平均每人每天只睡三小时。这一个月下来,他们已经到了极限了,才没有什么心思去管什么数学题。

艾拉只能悻悻地缩回马车的角落,自己一个人在纸上继续写写画画着。作为报复,当有人问她为什么要走这种路线时,她也总是敷衍地说道:“等我做完这道题。”

在这段时间里,她把所有常见的几何图形都用基于坐标轴的函数式表达了出来。然后,问题就又回到了那条抛物线上。

抛物线是一条曲线。经验告诉艾拉,每当问题和曲线相关的时候,难度就会一下子变大。

通过坐标轴,艾拉已经可以用数字描述各种各样的曲线。为了给自己一些信心,她先是选择了最简单的抛物线:y=x2来进行研究。

她做了一条直线y=1,与抛物线交于一个a点。这样,抛物线、直线、x轴三条线就围成了一个不规则的几何图形。

艾拉想要计算出这个不规则图形的面积。

她在抛物线上找出一个个点,分别垂直x轴与y轴做出两条线,以此把这个不规则图形分成了一个个矩形。这些矩形的面积加起来显然大于那个不规则图形的面积。然而,把这些矩形分的越细,  他们的面积就会越接近于那个不规则图形。

艾拉假设从坐标轴原点到y=1这条直线之间分出了n个矩形,  那么每个矩形的宽度就是1/n。又因为抛物线的函数式是y=x2,  那么第一个矩形的高就是(1/n)2,  第二个矩形的高度就是(2/n)2……

那么,所有矩形的面积之和就是:

s=1/n×(1/n)2+1/n×(2/n)2+……+1/n×(n/n)2

这是一个无穷级数。然而,戈特弗里德曾经教过艾拉无穷多项式的平方和公式。在利用这个公式将这个无穷级数化简之后,她得到了一个极为简单的算式:

s=1/3+1/(2n)+1/(6n2)

n越大,矩形的面积和就越接近于那个不规则图形。那么当n无限大的时候,矩形的面积之和s就会等于那个不规则图形的面积。此时,1/(2n)和1/(6n2)就是无限小,完全可以舍去。

于是这个不规则图形的面积就显而易了


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